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Oggetto:

Varietà Toriche

Oggetto:

Toric Varieties

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Academic year 2020/2021

Teacher
Prof. Michele Rossi (Lecturer)
Teaching period
To be defined
Type
Basic
Delivery
Blended
Language
English
Attendance
Obligatory
Prerequisites

basic concepts of affine and projective algebric geometry.

conoscenze base di geometria algebrica affine e proiettiva.
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Sommario del corso

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Course objectives


The aim of this course will be presenting the main known different approaching to toric varieties. Due to the huge amount of bibliographic references on this topic, the main attention will not be so much turned on giving proofs of many well known results, often characterized by a strong combinatorial afflatus and not so much intresting from the algebro-geometric point of view. Rather to drawing a way to quick correlating the different approaches, and favoring the possibility of explicitly working on significant examples.

 



L'obiettivo del corso è quello di presentare e correlare tra loro i diversi modi di introdurre e studiare le varietà toriche. Data l'enorme mole di materiale bibliografico su questo argomento, l'attenzione principale non sarà tanto rivolta alla dimostrazione dei molti risultati, spesso di natura combinatorica e non molto istruttive dal punto di vista algebro-geometrico, quanto a correlare tra loro i diversi approcci, privilegiando la possibilità di lavorare esplicitamente su esempi significativi.

Oggetto:

Program


0 - Some preliminaries in algebric geometry (Spec and schemes)
1 - The classical approach via cones and fans.
Definition of a toric variety (t.v.). Two important lattices associated with a t.v.. Basic examples. Cones and affine t.v.'s. Fans a their toric varieties. Orbits and faces. Properties of t.v.'s: Q-factoriality, completeness, projectiveness. Examples.
2 - The Cox's quotient description of a toric variety.
Divisors on toric varieties. The homogeneous coordinate ring (Cox ring). The quotient construction.
3 - Toric varieties via polytopes.
Polytopes and lattice polytopes. Normal fans. Toric varieties associated with a polytope. Polytope associated with a divisor. Polar duality and Batyrev mirror symmetric construction.
4 - Toric varieties via bunches of cones.
Gale Duality. Cones of divisors. The secondary fan. Bunch of cones and chambers of the secondary fan. A few words about a Mori Dream space.


0 - Alcuni preliminari di geometria algebrica (Spec e schemi)
1 - L'approccio classico via coni e ventagli.
Definizione di varietà torica. Due reticoli importanti associati ad una varietà torica. Primi esempi. Coni a varietà toriche affini. Ventagli di coni e varietà toriche associate. Facce e orbite. Proprietà fondamentali: Q-fattorialità, completezza e proiettività. Esempi.
2 - La descrizione di Cox via azioni e quozienti.
Divisori su varietà toriche. L'anello di Cox o anello delle coordinate omogenee. Azioni e quozienti.
3 - Varietà toriche associate a politopi.
Politopi razionali e politopi interi. Ventagli normali. Varietà toriche associate ad un politopo. Politopo associato ad un divisore. La dualità polare e la simmetria speculare di Batyrev.
4 - Varietà toriche definite via "mazzi" di coni.
Dualità di Gale. Coni di divisori. Il ventaglio secondario. Mazzi di coni e camere del ventaglio secondario. Uno sguardo agli spazi ideali di Mori.

 

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Course delivery


Teaching and period.
Ideally it would be a course consisting of about 30 hours. Given the current uncertainty due to the ongoing pandemic, there is no possibility of establishing a precise scheduling of a face-to-face course. Possible periods could be, exam sessions and health restrictions permitting,
- June / July 2020
- September / October 2020
- March / April 2021 (more likely)
This material could also provide the main trace of a possible "reading course" on the topic, in case of a very few audience or further persistent health restrictions.


Modalità e periodo.
La forma ideale sarebbe un corso in presenza di circa 30 ore. Data l'attuale incertezza dovuta alla pandemia in atto, non è possibile stabilire dei tempi certi di attuazione di un corso in presenza. Possibili periodi potrebbero essere, sessioni d'esami e restrizioni permettendo,
- giugno/luglio 2020
- settembre/ottobre 2020
- marzo/aprile 2021 (più probabile)
Il presente materiale potrebbe anche fornire la traccia principale di un eventuale "reading course" nel caso di pochi studenti o del protrarsi delle restrizioni in atto.

Suggested readings and bibliography

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References.
1. D.Cox Lecturs on Toric Varieties
2. Cox, D. A., Little, J. B., and Schenck, H. K. Toric varieties vol. 124 of Graduate Studies
in Mathematics, American Mathematical Society, Providence, RI, 2011.
3. Arzhantsev, I., Derenthal, U., Hausen, J., and Laface, A. Cox rings vol. 144 of Cam-
bridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press, Cambridge, 2015.



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Last update: 08/02/2022 11:20
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