- Oggetto:
Metodi Variazionali
- Oggetto:
VARIATIONAL METHODS
- Oggetto:
Academic year 2014/2015
- Teaching staff
- Prof. Susanna Terracini (Lecturer)
Prof. Paolo Caldiroli (Lecturer) - Type
- A scelta dello studente
- Credits/Recognition
- 6
- Course disciplinary sector (SSD)
- MAT/05 - analisi matematica
- Delivery
- Tradizionale
- Language
- Italiano
- Attendance
- Facoltativa
- Type of examination
- Orale
- Course borrowed from
- Laurea Magistrale in Matematica
- Oggetto:
Sommario del corso
- Oggetto:
Course objectives
La gran parte dei modelli matematici prevede che si realizzino configurazioni stazionarie o di equilibrio rispetto a funzioni energia o costo. Le geodetiche minimizzano la lunghezza della curva che connette due punti, nello stesso modo in cui le traiettorie minimizzano l'azione Lagrangiana, così come gli autovalori rendono stazionario il quoziente di Reyleigh, e molti altri esempi si possono trovare sia nella matematica che nelle sue applicazioni.
Questo corso si propone di famigliarizzare studenti con gli strumenti del Calcolo delle Variazioni ed i metodi di minimax e di illustrare alcune applicazioni notevoli e non banali: disuguaglianze funzionali, superfici di area minima, problemi semilineari ellittici ed equazione di Schrodinger non lineare, al fine di costruire soluzioni non banali e via via più complesse di problemi non lineari in vari rami delle scienze.- Oggetto:
Program
The area and coarea formulas, isoperimetric inequality, Sobolev-Gagliardo-Nirenberg inequality, Polya-Szego inequality. Sobolev spaces.
The direct method of the Calculus of Variation. Lagrangian functionals and normal integrands. The problem of existence of minimizers. Applications: minimal geodesics, minimal action principle. Applications to Spectral Theory of Schroedinger operators: tha min-max priciple and its consequences.Semilinear elliptic problems. The variational approach to the existence problem. Qualitative properties of solutions. Maximum principle. The Gidas-Ni-Nirenberg Theorem and radial symmetry of positive solutions. Best embedding constants: the subcritical and critical cases. The nonlinear Schrodinger equation. Area minimizing surfaces: the Plateau problem.
Suggested readings and bibliography
- Oggetto:
M. Badiale, E. Serra, Semilinear elliptic equations for beginners, Springer Verlag, Berlin, 2011
Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, 2011
Michael Struwe, Variational Methods and Applications to Nonlinear Partial Differential Equations and Hamiltonian Systems, Springer Verlag, 2008
- Oggetto:
