PhD in Pure and Applied Mathematics

Docenti del corso (Lecturers):  Giovanni Manno (Politecnico di Torino), Giovanni Moreno (IMPAN, Varsavia)

 

CFU: 6

 

Programma: Nella prima parte del corso introdurremo la nozione di varietà di contatto e del suo prolungamento, che è un fibrato sulla varietà di contatto di partenza avente come fibra una Lagrangiana Grassmanniana. Tali oggetti saranno necessari per una formulazione geometrica delle PDE del primo e del secondo ordine.

 

Mostreremo quindi come la Lagrangiana Grassmanniana giochi un ruolo fondamentale nella descrizione di alcuni fenomeni legati alle caratteristiche delle PDE, soffermandoci sul caso delle equazioni di Monge-Ampère, che ammettono una varietà caratteristica particolarmente semplice.

 

Vedremo inoltre come la geometria delle Lagrangiane Grassmanniane sia ricca e variegata, descrivibile in termini di Geometria Differenziale Proiettiva, Conforme e di Cartan. Si darà  una panoramica sul tipo di risultati che si possono ottenere, nel contesto delle PDE non lineari, facendo uso, anche combinato, di queste descrizioni.

 

 

Programme:  In the first part of the course we will introduce the notions of a contact manifold and of its first prolongation, which is a bundle on the former, whose generic fibre is a Lagrangian Grassmannian. These objects will be needed for a geometric formulation of 1st and 2nd order PDEs, respectively.
 
Then we will show that the Lagrangian Grassmannian plays a key role in the description of some phenomena related to the characteristics of PDEs. We shall focus on the case of Monge-Ampère-type equations, since their characteristic variety is particularly simple.
 
We will also show that the geometry of the Lagrangian Grassmannian is rich and interesting, and it can be described in terms of Projective Differential Geometry, Conformal Geometry and Cartan Geometry. We will explain which kind of results can be achieved, in the context of non-linear PDE, making use, even combined, of these descriptions.