PhD in Pure and Applied Mathematics

Il problema di Plateau nel Calcolo delle Variazioni

The Plateau problem in the Calculus of Variations

Academic year 2018/2019

Sommario del corso

• Program
• Notes
• Teaching tools

Program

Programma: Lo scopo del corso e' quello di presentare una panoramica delle principali tecniche per risolvere il problema di Plateau, ovvero trovare la superficie area minima tra tutte quelle che bordano una fissata curva nello spazio. Il problema ha origine negli esperimenti fisici di Joseph Plateau il quale cerco' di capire le possibili configurazioni dei  cosiddetti soap films. Dal punto di vista matematico il problema e' assai arduo e parecchie formulazioni sono possibili: forse ancora oggi nessuna di queste risposte e' la risposta al problema descritto da Plateau. In questo breve corso prima di tutto verra' introdotto il problema mostrando che, almeno nel caso regolare, se la variazione prima dell'area si annulla allora la superficie e' a curvatura media nulla. In un secondo momento verra' descritta la soluzione classica al problema di Plateau ad opera di Douglas e Rado, quindi verranno introdotte formulazioni moderne del problema nel contesto della teoria geometrica della misura: insiemi di perimetro finito, correnti e minimal sets di Almgren. Al termine del corso eventualmente saranno anche mostrati alcuni esperimenti concreti in aula.

Program: The aim of the course is to give an overview of the main techniques for the Plateau problem, that is to find a surface with minimal area that spans a given boundary curve in the space. This problem dates back to the physical experiments of Joseph Plateau who tried to understand the possible configurations of soap films. From the mathematical point of view the problem is very hard and a lot of possible formulations are available: perhaps still today none of these answers is the answer to the original formulation by Plateau. In this course first of all I will briefly introduce the problem showing that, at least in the smooth case, if the first variation of the area vanishes then the surface must have zero mean curvature. Then I will describe how the classical solution by Douglas and Rado works, and I will pass to modern formulations of the problem in the context of geometric measure theory: finite perimeter sets approach, currents approach, and minimal sets approach. Possibly, some physical experiments with soap films could be done in order to clarify advantages and drawbacks of the approaches.

Note

Schedule (aula BUZANO, DISMA, Politecnico):

• 7 novembre, 14:30-17:30
• 12 novembre, 14:30-17:30
• 14 novembre, 14:30-17:30
• 19 novembre, 14:30-17:30
• 21 novembre, 14:30-17:30

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